Сайтқа ену

Оқулықтар

Интернетке орналастыру

Оқулық-бағдарламалар

Матфизика есептерінің шешімдері

Бесконечно дифференцируемое интегральное представление.

Для целой функции

Это интегральное представление связана с дифференциальным оператором вида

и целой функцией

Очевидно, что функцию можно представить в виде

где

На функцию наложим следующие ограничения:

1) На некоторой правильной системе контуров выполняется неравенство

равномерно при

2) Если уравнение

(2)

имеет счетное множество корней то они таковы, что существует такое положительное число , что имеет место неравенство.Теперь рассмотрим разложение мероморфной функции на простейшие дроби. Пусть все полюсы этой функции занумерованы в порядке неубывания их модулей Допустим, что существует последовательность замкнутых контуров удовлетворяющих следующим условиям:

1) Каждый контур содержится внутри контура ,

2) не проходит ни через одну из точек ,

3) минимальное расстояние от контура до начала координат неограниченно возрастает при

4) отношение длины контура к остается ограниченным. На таких контурах функция стремится к нулю равномерно при . Следовательно, по известной теории она разлагается на простейшие дроби вида

, (3)

Где

,

причем для можно записать следующие равенства

……………………………………..

Доказательство этих формул приводится ниже.

Обозначим через

(5)

(6)

класс функций вместе со своими производными любого порядка в интервале для которых существуют такие числа , что имеет место оценка .

- класс непрерывных вместе со своими производными любого порядка функций ограниченных в интервале при

Определение. Функцию назовем приближением бесконечно дифференцируемых функций в интервале , если для любого натурального k функция ограничена для всех и для при

Теорема 1. Пусть для выполнены условия 1), 2), и

то для всех имеет место равенство

(7)

причем для любого k=1,2,…

Замечание. Здесь оператор применяется на , а не . Поэтому формула единственна.

Доказательство. Сначала формулу (7) докажем для класса функций . Вычислим интеграл (5). Учитывая формулу (3) получим, что

Легко доказать законность почленного интегрирования. Мы на этом не будем останавливаться. Так как имеет место преобразование вида

Следовательно,

.

Так как первый интеграл сиремится к нулю при .Тогда

=

Интегрированием по частям, получим

+

+

… … … … … … … … … … … …

Откуда

Первое слагаемое обращается в нуль в силу того, что

является корнем уравнения . Так как имеем

Поэтому

… … … … … … …

Следовательно,

Теперь докажем формулу (7) в общем случае. Функция бесконечно дифференцируема и при стремятся к нулю производные любого порядка. Поэтому интегрированием по частям функцию (6) можно привести к виду

(8)

где

, k=0,1,…

На функцию , наложим следующие ограничения: на некоторой правильной системе контуров выполняется неравенство

(9)

Или

(10)

равномерно при .

Для определенности далее считаем, что выполняется неравенство (9). Тогда

где - корни уравнения с кратностью .

Для справедлива равенства (Формула типа Виета)

… … … … … … …

где здесь чередуется 0 и коэффициенты многочлена

Аналогично легко вычислить, что

где

Здесь обладает свойствами

-------------------------------------------------------------------------

Здесь обладает свойствами

-------------------------------------------------------------------------

где в правой части чередуются 0 и коэффициенты целой функции

Функцию (8) приводим к виду

Отсюда следует что при . Теорема доказана.

Для многочлена

Если оператор имеет вид

то

Для определенности далее считаем . Тогда

Введем еще обозначение

m-раз диффенцируемые -приближения функции

в зависимости от m выражается в виде: при m=0

При m=1

При m=2

При

Мы знаем, что функция ограничена вместе со своими производными до m-го порядка для всех и для каждого x>0 при