Сайтқа ену

Оқулықтар

Интернетке орналастыру

Оқулық-бағдарламалар

Матфизика есептерінің шешімдері

Задача Коши для уравнения Навье-Стокса

C. Матаев

В трезмерном пространстве рассматриваеся задача Коши для уравнения Навье-Стокса

(1)

Для кратности записи введем следующие обозначения: точки трехмерного

простарнства, t- время,

давление.

Сначала решение этой задачи ищется в классе убывающих функции в пространстве R, потом

этот класс расширяется до класса растущих не выше ,

Без ограничения общности считаем, что . По закону Архимеда давление распространяется

на всех направлениях одинаковo. Поэтому без ограничения общности считаем, что p=0.

Распишем систему (1) более подробно.

(2)

Легко проверить, что имеет место следующее интегральное представление.

Известно, также

Также имеем

Введем обозначение

(4)

Тогда функцию (3) можно преписать в виде

(5)

Проинтегрируем все уравнении системы (2) по тройному интегралу и учитывая обозначение (4)

систему (2) приводим к виду

((6)

(7)

(8)

Равенство (7) при произвольных выполняется только при . Следовательно,

Отсюда А С не может быть равным начальным условим (8). Это говорить, что система

(2) не имеет решение. Еще заметим, что в системе (2) четвертое уравнение лишнее. Отбрасываем

это уравнение. Тогда оставшая система также не имеет решение. Покажем это

(9)

Перепишем в виде

(5)

Отнимая из первого уравнения второе, затем третье уравнение получим

Отсюда

Подставим эти выражения в первое уравнения (9), получим.

Это равенство выполняется только при

От остальных уравнений (9) также следует это.

Следовательно. Отсюда следует, что .

А начальные условия отличны от нуля. Поэтому задача не имеет решение,

то есть задача поставлена некорректно.

Теперь приводим корректно поставленную задачу Навье-стокса.

Найти решение в R

По формуле (4), то есть применяя прямое преобразование Фурье получим

Решением явлются

Теперь применяет обратное преобразование Фурье, получим

=

Аналогчно получаем

Очевидно, что эти функции удовлерворяет системы уравнений и начальным условиям.

Это есть единственное решение в классе не более растущих функции .

Литература

  1. С. Матаев. A general mixed boundary-value problem for the Laplase equation.

1988 Plenum Publishing Corporation

2. Общая смешанная граничная задача для уравнения Лапласа.

Мат. Заметки, т.42, N 3, 1987, 435-444